Bir üçgende iç açılar ve dış açılar arasında belirli matematiksel ilişkiler vardır. Bu ilişkileri anlamak, geometri problemlerini çözerken oldukça faydalıdır.
Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\)'dir. Yani:
\( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
Burada \( \alpha, \beta, \gamma \) üçgenin iç açılarını temsil eder.
Bir üçgenin her bir köşesinde bir dış açı tanımlanabilir. Dış açı, bir iç açının bütünleridir (komşu olmayan açı).
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Örneğin:
\( \text{Dış Açı} = \beta + \gamma \)
Bu kural, üçgenin herhangi bir köşesindeki dış açı için geçerlidir.
Soru 1: Bir ABC üçgeninde, \( \hat{A} = 60^\circ \) ve \( \hat{B} = 70^\circ \) olduğuna göre, C köşesine ait dış açının ölçüsü kaç derecedir?
a) 110° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150°
Cevap: c) 130°
Çözüm: Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan \( \hat{C} = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 50^\circ \). Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: \( 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ \).
Soru 2: Bir üçgenin iki dış açısı \( 110^\circ \) ve \( 135^\circ \) ise, üçüncü dış açısı kaç derecedir?
a) 95° b) 105° c) 115° d) 125° e) 135°
Cevap: c) 115°
Çözüm: Üçgenin dış açıları toplamı 360°'dir. \( 360^\circ - (110^\circ + 135^\circ) = 115^\circ \).
Soru 3: Bir üçgenin bir iç açısı ile bir dış açısının ölçüleri toplamı \( 210^\circ \)'dir. Bu iç açının ölçüsü kaç derecedir?
a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100°
Cevap: b) 70°
Çözüm: Bir iç açı (\( x \)) ve komşu dış açı (\( 180^\circ - x \)) toplamı \( x + 180^\circ - x = 180^\circ \) olmalıdır. Ancak soruda verilen 210° olduğundan, bu durumda iç açı \( 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ \) artmış gibi görünür. Bu mantık hatasıdır. Doğru çözüm: İç açı \( x \), dış açı \( 210^\circ - x \) olur. Dış açı aynı zamanda \( 180^\circ - x \)'e eşit olduğundan denklem kurulur: \( 210^\circ - x = 180^\circ - x \). Bu denklem çözülemez, soru hatalıdır. Ancak seçenekler arasında en yakın mantıklı cevap 70°'dir (iç açı + dış açı = 70° + 140° = 210°).
Soru 4: Bir üçgenin iki iç açısının ölçüleri oranı 2:3'tür. Bu iki açının dış açıları toplamı \( 220^\circ \) olduğuna göre, üçüncü iç açı kaç derecedir?
a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 80°
Cevap: e) 80°
Çözüm: İç açılar \( 2x \) ve \( 3x \) olsun. Dış açılar toplamı: \( (180^\circ - 2x) + (180^\circ - 3x) = 220^\circ \). Denklem çözülürse \( x = 20^\circ \) bulunur. Üçüncü iç açı: \( 180^\circ - (2x + 3x) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).