9. Sınıf İki Kare Farkı Özdeşliği Nedir?

Question

İki kare farkı özdeşliği, a² - b² şeklindeki ifadeleri (a - b)(a + b) olarak çarpanlarına ayırmamızı sağlayan bir formül. Örneğin, x² - 9 ifadesini (x - 3)(x + 3) şeklinde yazabiliriz. Formülü uygularken hangi sayıların kare olduğunu görmekte bazen zorlanıyorum, sizce nasıl daha kolay fark edebilirim?

Answer 1

İki Kare Farkı Özdeşliği

İki kare farkı özdeşliği, cebirde sıkça kullanılan ve iki sayının karelerinin farkını çarpanlarına ayırmaya yarayan bir formüldür. Bu özdeşlik, aşağıdaki gibi ifade edilir:

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Formülün Açıklaması

Bu formül, iki terimin karelerinin farkını, bu terimlerin farkı ile toplamının çarpımı şeklinde yazar. Örneğin:

• \( x^2 - 9 \) ifadesini ele alalım. Bu, \( x^2 - 3^2 \) şeklinde yazılabilir.
• Formülü uygularsak: \( (x - 3)(x + 3) \) olur.

Örnekler

Aşağıda iki kare farkı özdeşliği ile çözülebilecek bazı örnekler verilmiştir:

• Örnek 1: \( 16 - y^2 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

  \[ 4^2 - y^2 = (4 - y)(4 + y) \]

• Örnek 2: \( 25a^2 - 1 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

  \[ (5a)^2 - 1^2 = (5a - 1)(5a + 1) \]

Neden Önemlidir?

İki kare farkı özdeşliği:

• Denklem çözümlerinde kolaylık sağlar.
• Cebirsel ifadeleri sadeleştirmede kullanılır.
• Polinom çarpanlara ayırma konusunun temelini oluşturur.

Uyarı: Bu özdeşlik sadece iki kare farkı durumunda geçerlidir. Toplam durumunda (\( a^2 + b^2 \)) benzer bir çarpanlara ayırma yapılamaz.

Answer 2

9. Sınıf İki Kare Farkı Özdeşliği Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( x^2 - 16 \) ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \((x - 4)(x + 4)\)
b) \((x - 8)(x + 8)\)
c) \((x - 2)(x + 8)\)
d) \((x - 4)^2\)
e) \((x + 4)^2\)
Cevap: a) \((x - 4)(x + 4)\)
Çözüm: İki kare farkı özdeşliği \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) şeklindedir. Burada \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2\) olduğundan doğru çarpanlar \((x - 4)(x + 4)\)'tür.

Soru 2: \( 9a^2 - 25b^2 \) ifadesinin çarpanlarından biri \(3a - 5b\) ise diğer çarpan aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(3a + 25b\)
b) \(3a + 5b\)
c) \(9a + 5b\)
d) \(9a + 25b\)
e) \(5a + 3b\)
Cevap: b) \(3a + 5b\)
Çözüm: İki kare farkı formülüne göre \(9a^2 - 25b^2 = (3a - 5b)(3a + 5b)\) şeklinde yazılır. Verilen çarpan \(3a - 5b\) olduğundan diğer çarpan \(3a + 5b\) olmalıdır.

Soru 3: Bir kenar uzunluğu \( (x + 3) \) cm olan kareden, bir kenarı \( (x - 3) \) cm olan başka bir kare kesilerek çıkarılıyor. Kalan bölgenin alanını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(6x\)
b) \(12x\)
c) \(x^2 - 9\)
d) \(x^2 + 9\)
e) \(6x + 9\)
Cevap: b) \(12x\)
Çözüm: Kalan alan, büyük karenin alanından küçük karenin alanı çıkarılarak bulunur: \((x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = 12x\).

Soru 4: \( 49y^2 - 1 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \((7y - 1)^2\)
b) \((7y + 1)(7y - 1)\)
c) \((49y - 1)(y + 1)\)
d) \((7y - 1)(7y - 1)\)
e) \((y - 7)(y + 7)\)
Cevap: b) \((7y + 1)(7y - 1)\)
Çözüm: \(49y^2 - 1 = (7y)^2 - 1^2\) olduğundan iki kare farkı formülüyle \((7y + 1)(7y - 1)\) şeklinde çarpanlara ayrılır.