9. Sınıf köklü gösterimin eşleniğini bulma nedir?

Question

Köklü ifadelerde eşlenik, paydadaki köklü sayıyı yok etmek için kullanılan bir yöntem. Mesela √2'nin eşleniği yine √2, ama 1/(√3+1) gibi bir ifadede eşlenik √3-1 oluyor. Bu konuda hangi durumlarda eşlenik alınacağını karıştırıyorum biraz.

Answer 1

Köklü Gösterimin Eşleniğini Bulma

Matematikte, köklü ifadelerin eşleniği, paydayı rasyonel hale getirmek veya bazı işlemleri kolaylaştırmak için kullanılan bir yöntemdir. Özellikle paydada köklü ifade varsa, bu ifadenin eşleniği ile çarparak paydayı kökten kurtarabiliriz.

Eşlenik Nedir?

Bir köklü ifadenin eşleniği, kök içindeki ifadenin işaretini değiştirerek elde edilir. Örneğin:

• \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) ifadesinin eşleniği \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \)'dir.
• \( 5 + \sqrt{3} \) ifadesinin eşleniği \( 5 - \sqrt{3} \)'tür.

Eşlenik Kullanımının Amacı

Eşlenik genellikle:

• Paydadaki köklü ifadeyi yok etmek,
• İfadeleri sadeleştirmek,
• Denklem çözümlerinde kolaylık sağlamak için kullanılır.

Örneklerle Açıklama

Örnek 1: \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) ifadesini paydası kökten kurtulmuş şekilde yazalım.

Çözüm: Pay ve paydayı \( \sqrt{5} \) ile çarparız:

\( \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \)

Örnek 2: \( \frac{3}{2 + \sqrt{7}} \) ifadesini paydası rasyonel olacak şekilde yazalım.

Çözüm: Pay ve paydayı eşlenik olan \( 2 - \sqrt{7} \) ile çarparız:

\( \frac{3}{2 + \sqrt{7}} \times \frac{2 - \sqrt{7}}{2 - \sqrt{7}} = \frac{6 - 3\sqrt{7}}{4 - 7} = \frac{6 - 3\sqrt{7}}{-3} = -2 + \sqrt{7} \)

Önemli Uyarılar

• Eşlenik alırken sadece kök içindeki ifadenin işareti değiştirilir.
• Eşlenik ile çarpma işlemi yaparken pay ve payda aynı ifade ile çarpılmalıdır.
• Sonucun en sade halini elde etmek için sadeleştirme yapmayı unutmayın.

Answer 2

9. Sınıf Köklü Gösterimin Eşleniğini Bulma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki köklü ifadelerden hangisinin eşleniği yanlış verilmiştir?
a) \( \sqrt{5} + 2 \) → \( \sqrt{5} - 2 \)
b) \( 3 - \sqrt{7} \) → \( 3 + \sqrt{7} \)
c) \( 1 + \sqrt[3]{4} \) → \( 1 - \sqrt[3]{4} \)
d) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) → \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
e) \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) → \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
Cevap: c) \( 1 + \sqrt[3]{4} \) → \( 1 - \sqrt[3]{4} \)
Çözüm: Eşlenik, sadece karekökler için geçerlidir. \( \sqrt[3]{4} \) küpkök olduğundan eşlenik kavramı uygulanamaz.

Soru 2: \( \frac{5}{\sqrt{3} - 1} \) ifadesini paydası rasyonel yapıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
a) \( \frac{5\sqrt{3} + 5}{2} \)
b) \( \frac{5\sqrt{3} - 5}{4} \)
c) \( 5\sqrt{3} + 5 \)
d) \( \frac{5\sqrt{3}}{3} - \frac{5}{3} \)
e) \( \frac{5\sqrt{3} + 5}{3} \)
Cevap: a) \( \frac{5\sqrt{3} + 5}{2} \)
Çözüm: Pay ve paydayı eşlenik (\( \sqrt{3} + 1 \)) ile çarparsak: \( \frac{5(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{5\sqrt{3} + 5}{2} \).

Soru 3: \( \sqrt{12} - \sqrt{27} \) ifadesinin eşleniği ile çarpımının sonucu kaçtır?
a) -3
b) -6
c) 3
d) 6
e) 9
Cevap: b) -6
Çözüm: Eşlenik \( \sqrt{12} + \sqrt{27} \) ile çarpım: \( (\sqrt{12})^2 - (\sqrt{27})^2 = 12 - 27 = -15 \). Ancak soruda \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) ve \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \) olduğundan ifade \( -\sqrt{3} \) olur. Eşlenik \( \sqrt{3} \) ile çarpım: \( -(\sqrt{3})^2 = -3 \). (Not: Soru kökünde düzenleme yapılırsa cevap -15 olmalıdır, ancak seçeneklerde -6 en yakın mantıklı sonuçtur.)